矩陣分析與計算

 

第1章 線性方程組
1.1 線性方程組的解法回顧
1.1.1 從高斯消元法談起
1.1.2 計算複雜性分析
1.1.3 歷史開了個大玩笑
1.2 矩陣的LU分解
1.2.1 LU分解定理
1.2.2 列選主元法
1.2.3 特殊矩陣的Lu分解
1.3 數值計算的幾個基本概念
1.3.1 計算機的浮點數系統與舍人誤差
1.3.2 問題的病態性與算法的穩定性
1.3.3 算法的計算複雜性
1.4 線性方程組的數值解法概述
習題一

第2章 線性空閽與線性變換
2.1 從解空間到向量空間
2.1.1 從齊次線性方程組的求解談起
2.1.2 向量空間
2.1.3 向量空間的歷史：前傳
2.2 線性空間
2.2.1 什麼是線性
2.2.2 線性空間的概念及性質
2.2.3 線性空間的基、坐標及其變換
2.2.4 線性空間的同構？
2.2.5 向量空間的歷史：狂飆的數學
2.3 子空間的交與和
2.3.1 子空間的交與和
2.3.2 子空間的直和
2.4 線性變換及其矩陣表示
2.4.1 幾個簡單的線性變換
2.4.2 線性變換及其性質
2.4.3 線性變換的矩陣表示
2.4.4 線性變換的不變子空間
2.5 矩陣的Jordan標準型
2.5.1 從算術基本定理到Jordan標準型
2.5.2 Jordan標準型的簡易求法
2.5.3 Jordan其人
2.6 方陣高次冪的計算
2.6.1 從兩個例子說起
2.6.2 Jordan分解法
2.6.3 cayley？Hamilton定理及最小多項式
習顥二

第3章 內積空間
3.1 從向量空間R」到歐氏空間R」
3.1.1 從向量的內積說起
3.1.2 歐氏空間R」的標準正交基
3.2 QR分解
3.2.1 再談Gram-Schmidt方法
3.2.2 矩陣的QR分解
3.3 歐氏空間及其標準正交基
3.3.1 歐氏空間
3.3.2 歐氏空間的標準正交基
3.3.3 正交投影定理
3.4 最小二乘法
3.4.1 解不相容線性方程組的最小二乘法
3.4.2 最佳逼近定理及其應用
3.5 Householder變換與Givens變換
3.5.1 正交變換及其矩陣
3.5.2 求QR分解的Householder變換法
3.5.3 下蛋的母雞
3.6 酉空間、酉變換與酉矩陣
習題三

第4章 特殊變換及其矩陣
4.1 正規變換與正規矩陣
4.1.1 正規變換
4.1.2 正規矩陣
4.2 Hermite變換與Hermite矩陣
4.2.1 Hermite變換（Hermite矩陣）的定義和性質
4.2.2 達到教育的目的是用頭腦，又不是用腳
4.2.3 正定Hermite矩陣
4.2.4 對稱：是可怕的還是可愛的？
4.3 投影變換與投影矩陣
4.4 譜分解的應用
4.4.1 離散Karhunen-Loeve變換
4.4.2 主成分分析
4.5 矩陣的奇異值分解
4.5.1 從幾何觀測說起
4.5.2 由SVD導出的矩陣性質
4.5.3 SVD的算法
4.5.4 SVD教授
4.6 矩陣的標準型
4.6.1 實正規矩陣在正交相似下的標準型
4.6.2 各種矩陣標準型之間的關係
習題四

第5章 范數及其應用
5.1 向量范數
5.1.1 從絕對值及模說起
5.1.2 常用的向量范數
5.1.3 向量范數的幾個性質
5.2 矩陣范數
5.2.1 矩陣范數的概念
5.2.2 算子范數及范數的相容性
5.2.3 矩陣范數的幾個性質
5.3 范數的幾個應用
5.3.1 譜半徑與矩陣范數
5.3.2 線性方程組解與矩陣逆的擾動分析？
5.3.3 矩陣的低秩逼近及其應用
5.3.4 只要醒著，你就必須思考數學
習題五

第6章 矩陣分析及其應用
6.1 矩陣序列與矩陣級數
6.1.1 矩陣序列
6.1.2 矩陣級數
6.2 解線性方程組的古典迭代法
6.2.1 三種基本迭代法
6.2.2 斂散性分析
6.3 解線性方程組的現代迭代法
6.3.1 共軛梯度法
6.3.2 子空間迭代法
6.3.3 那些年，那些事
6.4 函數矩陣及λ矩陣
6.4.1 函數矩陣
6.4.2 λ矩陣及其Smith標準型
6.4.3 Smith標準型的應用
6.5 矩陣函數及其計算
6.5.1 矩陣函數的定義及性質
6.5.2 矩陣函數的計算
6.5.3 矩陣指數函數的數值計算：krylov子空聞法
6.6 矩陣的微分與積分
6.6.1 含參矩陣函數的微分與積分
6.6.2 函數對向量的微分
6.6.3 矩陣標量函數對矩陣的微分
6.6.4 矩陣對矩陣的微分
6.6.5 成於計算，敗於算計
6.7 矩陣函數的應用
6.7.1 線性常係數微分方程組
6.7.2 應用Ⅰ：線性定常系統的狀態轉移矩陣
6.7.3 矩陣微分方程
6.7.4 應用Ⅱ：線性時變系統的狀態轉移矩陣
6.7.5 應用Ⅲ：線性時變系統的能控性和能觀測性
習題六

第7章 特徵值問題
7.1 特徵值的估計
7.1.1 從特徵值問題的穩定性說起
7.1.2 蓋爾定理
7.1.3 特徵值的界
7.2 多項式特徵值問題
7.2.1 廣義特徵值問題
7.2.2 二次特徵值問題
7.3 Rayleigh商和廣義Rayleigh商
7.3.1 Rayleigh商
7.3.2 廣義Rayleigh商
7.3.3 樂在其中的瑞利勛爵
7.4 特徵值問題的數值算法綜述
7.4.1 擾動和敏感性
7.4.2 冪法與反冪法
7.4.3 QR法
7.4.4 krylov子空間法
7.4.5 Jacobi？Davidson法
7.4.6 蘭喬斯先生，請您壓陣
習題七
習題答案與提示
參考文獻