複變函數與積分變換/普通高等教育「十二五」規化教材

第1章  複數與複變函數
1.1  複數
1.1.1  複數的概念
1.1.2  複數的四則運算
1.1.3  複數的表示法
習題1.1
1.2  複數的乘冪與開方
1.2.1  複數的乘冪
1.2.2  複數的開方
習題1.2
1.3  平面點集
1.3.1  復平面上的點集與區域
1.3.2  單連通區域與多（復）連通區域
習題1.3
1.4  複變函數
1.4.1  複變函數的概念
1.4.2  複變函數的幾何表示
1.4.3  反函數與復合函數
習題1.4
1.5  複變函數的極限與連續
1.5.1  複變函數的極限
1.5.2  複變函數的連續性
習題1.5
複習題一
第2章  解析函數
2.1  複變函數的導數與解析函數的概念
2.1.1  複變函數的導數與微分
2.1.2  解析函數的概念
習題2.1
2.2  複變函數可導與解析的充要條件
習題2.2
2.3  解析函數與調和函數的關係
習題2.3
2.4  初等函數及其解析性
2.4.1  指數函數
2.4.2  對數函數
2.4.3  冪函數
2.4.4  三角函數
2.4.5  反三角函數
2.4.6  雙曲函數與反雙曲函數
習題2.4
複習題二
第3章  複變函數的積分
3.1  復積分的概念及其基本計算方法
3.1.1  復積分的定義
3.1.2  復積分的基本性質
3.1.3  復積分的存在定理及其基本計算方法
習題3.1
3.2  柯西積分定理與不定積分
3.2.1  柯西積分定理
3.2.2  不定積分
習題3.2
3.3  復合閉路定理
習題3.3
3.4  柯西積分公式與高階導數
3.4.1  柯西積分公式
3.4.2  解析函數的高階導數
3.4.3  柯西不等式與劉維爾（Liouville）定理
習題3.4
複習題三
第4章  級數
4.1  複數序列與複數項級數
4.1.1  複數序列
4.1.2  複數項級數
習題4.1
4.2  複變函數項級數
4.2.1  複變函數項級數的概念
4.2.2  冪級數
習題4.2
4.3  解析函數的泰勒展開式
習題4.3
4.4  解析函數的洛朗級數
4.4.1  洛朗級數
4.4.2  解析函數的洛朗展開式
習題4.4
複習題四
第5章  留數及其應用
5.1  解析函數的孤立奇點
5.1.1  孤立奇點的定義
5.1.2  孤立奇點的分類
5.1.3  孤立奇點∞的定義及分類
習題5.1
5.2  留數的定義及計算
5.2.1  留數的定義
5.2.2  留數的計算
5.2.3  留數定理及其應用
5.2.4  無窮遠點的留數
習題5.2
5.3  留數在實變量積分計算中的應用
5.3.1  ∫=2π*R（cosθ，sinθ）dθ型積分
5.3.2  ∫=+∞*－∞f（x）dx型積分
5.3.3  ∫=+∞*－∞f（x）eiaxdx（a〉0）型積分
習題5.3
5.4  對數留數與輻角原理
5.4.1  對數留數
5.4.2  輻角原理
5.4.3  儒歇定理
習題5.4
複習題五
第6章  保形映射
6.1  解析函數導數的幾何意義與保形映射的概念
6.1.1  解析函數導數的幾何意義
6.1.2  保形映射的概念
習題6.1
6.2  分式線性映射及其應用
6.2.1  分式線性映射的概念
6.2.2  分式線性映射的分解
6.2.3  分式線性映射的性質
6.2.4  分式線性映射的應用
習題6.2
6.3  常見初等函數確定的映射
6.3.1  冪函數和根式函數所確定的映射
6.3.2  指數函數與對數函數所確定的映射
習題6.3
複習題六
第7章  傅里葉變換
7.1  傅里葉積分
7.1.1  週期函數的傅里葉級數
7.1.2  非週期函數的傅里葉積分公式
習題7.1  
7.2  傅里葉變換的定義及性質
7.2.1  傅里葉變換的定義
7.2.2  傅里葉變換的性質
習題7.2
7.3  δ函數及其傅里葉變換
7.3.1  δ函數的定義
7.3.2  δ函數的性質
7.3.3  δ函數的傅里葉變換
習題7.3
複習題七
第8章  拉普拉斯變換
8.1  拉普拉斯變換的概念
8.1.1  問題的提出
8.1.2  拉普拉斯變換的定義
8.1.3  拉普拉斯變換的存在定理
8.1.4  週期函數的拉普拉斯變換
8.1.5  單位脈衝函數δ（t）的拉普拉斯變換
習題8.1
8.2  拉普拉斯逆變換
習題8.2
8.3  拉普拉斯變換的性質
習題8.3
8.4  拉普拉斯變換的應用
8.4.1  解線性微分方程和積分方程
8.4.2  解具有特殊擾動函數的微分方程
習題8.4
複習題八
第9章  數學實驗
實驗1  複變函數的微積分
實驗2  留數的基本運算與閉曲線上的積分
實驗3  傅里葉變換和拉普拉斯變換
參考答案
附錄1  區域變換表
附錄2  傅里葉變換簡表
附錄3  拉普拉斯變換簡表
主要參考文獻